基于电磁感应的三线摆周期测量装置的研制
1 导出问题
转动惯量是物体转动惯性大小的量度。物体对某轴的转动惯量与物体的质量、质量分布以及转轴的位置有关。对于质量均匀分布，外形简单的物体可以通过计算得到物体的转动惯量；对于质量分布不均匀和外形复杂的物体，其转动惯量只能通过实验的方法测量得到。正确测定物体的转动惯量对于了解物体转动规律、机械设计制造有着非常重要的意义[1]。三线摆法是实验测量转动惯量的常见方法。此方法已成功地用在公斤级小人造卫星、吸排油烟机的叶轮、汽车发动机整机等产品的转动惯量测试中[2]。运用三线摆测量转动惯量时，需要动态测量的一个重要的参数就是转动周期。测量转动周期的传统方法是采用人工计数和秒表进行测量，一般要测试3次，每次测量30个至50个周期的总时间，然后取平均得到单个周期。人工计数费心费神，容易出错，并且周期测量一旦出错，后期无法纠正，只能重测[3]。为了解决人工计数的弊端，任培等[4]提出使用光电传感器和信号采集装置测量三线摆的周期。郭斌等[5]设计了基于MSP430单片机的三线摆周期测量仪，使用光电传感器计数计时来测量三线摆的周期。李正天等[6]提出将智能手机与传统方法相结合，利用智能手机自带的角速度传感器和Sensor Kinetics传感器软件进行周期的测量。刘昶[7]指出，在实际实验中圆盘在水平面内逐渐发生轻微的横摆，增加误差的不确定性。
综上所述，采用光电传感器，由于横摆的影响，很容易导致计数漏记一次。此外，采用光电传感器测量还有一个弊端就是仪器调整比较麻烦。若采用智能手机自带的角速度传感器和Sensor Kinetics传感器软件，问题也很多。首先，把手机放到三线摆上明显改变了下盘的转动惯量；其次，相当多学生对传感器软件不熟悉，实施起来比较困难。因此，有必要设计一种新的周期测量装置，以确保周期测量准确性。应用模拟量线性电感式接近开关可以将三线摆下盘的升降转换成电压信号的振荡，然后利用数据采集系统采集以获得三线摆下盘到电感式接近开关距离的时间历程信号，通过数据分析可以准确得到三线摆的扭摆周期。
2 测量原理
电感式接近开关是利用电涡流感知被测物体距离的传感器，检测的物体必须是导电性能良好的金属物体[8]。实验选用的模拟量线性电感式接近开关的型号是XM18-3008PUM，其中，X表示模拟线性式；M代表圆柱型；18代表直径为18mm；30表示工作电压为15～30V；08代表检测距离为8mm。工作电压为15V时，实验测得XM18-3008PUM的输出电压随距离的变化关系如图1所示。
图1 XM18-3008PUM的输出特性
由图1可知XM18-3008PUM的输出电压随感应距离的变化而变化，感应距离越大，输出电压越高；感应距离越小，输出电压越低。如果将XM18-3008PUM感应面竖直朝下、固定在三线摆下盘的上方、距离在检查距离的范围之内，当三线摆扭摆的时候，三线摆下盘与XM18-3008PUM之间的距离发生周期性的变化，XM18-3008PUM输出的电压也要随时间发生周期性的变化。忽略掉空气阻尼，当三线摆下盘扭摆的角度很小时，三线摆下盘的运动可看做简谐运动，转动动能与重力势能之间相互转化，但是，转动动能与重力势能的总和保持不变。由简谐运动的规律可知，转动动能和重力势能都将随时间发生周期性变化，且变化的频率是简谐运动频率的2倍。所以，XM18-3008PUM的输出电压随时间变化的周期是三线摆扭摆周期的一半。利用数据采集系统将XM18-3008PUM输出电压随时间的变化采集出来，经处理得到XM18-3008PUM输出电压变化的周期，进而求出三线摆扭摆的周期。
3 实验
图2 实验装置示意图
调整三线摆底座水平，调整悬线的长度使下盘水平。测量上盘悬线孔间距a、下盘悬线孔间距b、上下盘之间的高度差H、读出下盘的质量M，并做好记录。如图2所示，利用铁架台将XM18-3008PUM感应面朝下、固定在三线摆下盘的上方。将接近开关的输出端与数据采集系统硬件电路的输入通道相连，利用稳压稳流电源给XM18-3008PUM提供15V电压。将数据采集系统输出端经USB口与电脑相连。电脑上安装有上位机软件。打开界面，设置采集时间间隔为0.001s，采集时间为15s。利用上盘带动下盘做小角度扭摆，下盘的升降运动也是周期性的。适当调整，令XM18-3008PUM感应面与下盘平行，距离为2mm左右。当三线摆扭摆时，随着下盘的升降接近开关输出的电压发生周期性变化。启动数据采集系统开始采集数据并将采集到的数据以Excel格式保存到电脑中。
为与现有仪器比较，相同条件下利用DH4601型转动惯量测试仪进行测试，设置周期数为30个周期。调整光电门的位置，利用上盘带动下盘作小幅扭摆，尽量避免横摆或晃动，扭摆的转角控制在5°以内。按下DH4601型转动惯量测试仪的执行键开始计时，计时结束后，记下DH4601显示的30个周期的总时间。
4 实验结果与讨论
实验中，利用毫米刻度尺测出下盘悬孔间距b=0.1641±0.0005m，所以，下盘半径R为
(1)
代入数据后，得出三线摆下盘的转动惯量的理论值为J理论=(4.780±0.033)×10-3(kg·m2)。
4.1 DH4601型转动惯量测试仪测量结果
DH4601型转动惯量测试仪给出30个周期的总时间为40.55s，除以30得到三线摆扭摆周期T为1.352s。根据三线摆转动惯量的实验公式[10]:
J实
(2)
代入数据后，可以计算出三线摆下盘的转动惯量J实=(4.732±0.047)×10-3(kg·m2)，相对误差Er=1%。
4.2 基于电磁感应的三线摆周期测量装置的测量结果
将基于电磁感应的三线摆周期测量装置生成的的Excel数据用Origin7.5软件画图，得到电感式接近开关输出的电压变化与时间的关系，如图3所示。
图3 电感式接近开关输出的电压变化与时间的关系
(a)整体图；(b)放大图
由图3(a)可见，曲线围绕中心电压(平均值)上下波动。此外，从图3(a)可见，极大值点的数值基本不变，极小值点的数值随着时间逐渐衰减。结合图1和图2可知，随着时间的延续，三线摆下盘所能达到的最低位置保持不变，上盘所能达到的最高位置的高度逐渐减小。这与三线摆实验中，由于空气阻尼的影响，下盘所能达到的最大高度随时间逐渐衰减是一致的。图3(b)给出曲线的局部放大图，可见曲线自身作高频震荡，又随外界作低频震荡。这个高频震荡与XM18-3008PUM的高频器有关，而低频震荡与三线摆的扭摆有关。采用合适的数据处理方法可将低频震荡的周期分析出来，由此得到三线摆扭摆的周期。
由于电感式接近开关输出的电压信号包含不同的频率成分，为了将不同频率的成分分开，很自然会想到快速傅里叶变换。为消除直流成分的干扰，首先，利用origin7.5软件的积分功能计算出图3中曲线与横轴围成的面积为37.454，除以15得2.497V(平均值)。将图1数据统一减掉这个平均值后，曲线幅度关于横轴大体对称，如图4所示。
图4 中心电压为零时的曲线
从图4可见，中心电压下拉为零后，曲线整体相当于一个交流信号。消除了直流成分的影响后便可以直接进行傅里叶变换，以便对信号进行频谱分析。利用origin7.5软件的FFT功能对图4进行快速傅里叶变换，结果如图5所示。
图5 傅里叶变换结果
从图5可见，直流分量已基本消除；曲线有3个比较明显的窄峰。第1个峰的中心频率是(0.732±0.00054)Hz，第2个峰的中心频率是(1.465±0.0021)Hz，第3个峰的中心峰位是(49.988±2.499)Hz。其中，第三个峰的强度最大，其频率刚好是XM18-3008PUM的高频器的振荡频率，与三线摆的运动无关，可以忽略不计。剩下的两个峰中，第二个峰的强度最大，它应该是三线摆的扭摆造成的，里面蕴含着三线摆扭摆周期的信息。第一个峰刚好是第二个峰的半频信号。根据第二个峰的中心频率，计算得到第二个峰对应的周期为0.6827s，所以，三线摆扭摆的周期为与第二个峰对应信号周期的2倍，即1.365s，代入式(2)，计算出J实=(4.823±0.046)×10-3kg·m2，相对误差Er=0.9%。这个误差很小，说明基于电磁感应的三线摆周期测量装置的准确度较高，完全可以和现有的光电测量装置相媲美。
5 结语
根据电磁感应，利用固定在下盘上方的电感式接近开关检测下盘的升降情况；当三线摆作小角度扭摆时，下盘在竖直方向也做周期性运动，下盘与电感式接近开关之间的距离也周期性变化，电感式接近开关输出的电压信号也随时间周期性变化，且变化的周期就是三线摆的扭摆周期。由于电感式接近开关输出的电压信号中还包含高频器的高频震荡信号，为了准确得到三线摆的扭摆周期，利用快速傅里叶变换处理数据。傅里叶变换可以将不同频率的信号分开，它可以消除高频震荡的影响，是有效的、可行的。基于电磁感应的三线摆周期测量装置结构简单，调节方便，配以合适的数据处理方法对转动惯量的测量，教学和研究方面具有重要意义，具有一定的推广和使用价值。
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基金项目: 南阳理工学院省示范校建设专项研究项目(编号：SFX201718)；大学物理开放性实验教学方法与体系的研究与实践； 南阳理工学院2018年度实验室开放基金项目：新型三线摆周期测量系统的设计和制作； 南阳理工学院高等教育研究基金项目(编号：2017-NGGJJJ-002)：应用型本科高校公共实践教学平台运行机制研究。
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